Question

6．某大型商场成立十周年之际，为了回馈顾客，特进行有奖销售：有奖销售期间，每购买满100元该商场的商品，都有一次抽奖机会，一旦中奖，将获得一个精美奖品；抽奖方案有A、B两种，可自主选择，A方案是：从装有3个红色小球和7个白色小球的箱子里每次摸1个小球，不放回地摸3次，若至少摸到两个红球就中奖，否则无奖；B方案是：从装有3个红色小球和7个白色小球的箱子里每次摸1个小球，有放回地摸3次，若至少有两次摸到红球就中奖，否则无奖；其中箱子里的小球除颜色和编号外完全相同．
（Ⅰ）若某顾客用A方案抽奖一次，求他抽到的3个小球中红球个数X的分布列和期望；
（Ⅱ）若甲、乙两顾客分别用A、B方案各抽奖一次，它们中奖的概率是否相同？若你去抽奖，将选择哪种方案？说明理由．

Answer 1

分析 （1）X可取0，1，2，3，且服从超几何分布，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望EX．
（2）设甲、乙各抽奖一次，中奖的事件分别为C、D，分别求出P（C）和P（D），由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）X可取0，1，2，3，且服从超几何分布，
P（X=0）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，…（4分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

期望EX=$0×\frac{7}{24}+1×\frac{21}{40}+2×\frac{7}{40}+3×\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．…（6分）
（2）设甲、乙各抽奖一次，中奖的事件分别为C、D，则
由（1）知P（C）=$\frac{7}{40}$+$\frac{1}{120}$=$\frac{11}{60}$，…（8分）
乙按B方案抽，P（D）=${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}×0.7+{C}_{3}^{3}•0．{3}^{3}$=$\frac{27}{125}$．…（10分）
甲、乙中奖的概率不相同，
∵$\frac{27}{125}＞\frac{11}{60}$，∴P（D）＞P（C），
∴应选择B方案抽奖．  …（12分）

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．