Question

5．过椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的直线与圆x²+y²=b²相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，若$\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$，则椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 连接OA，PF₁，则OA⊥PQ，得PF₁⊥PQ，由A为线段PQ的靠近P的三等分点，得A为线段PA的中点，于是PF₁=2b．结合椭圆的定义有PF₂=2a-2b，由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：如图，

解：连接OA，PF₁，
则OA⊥PQ，∴PF₁⊥PQ，
∵$\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$，∴A为线段PQ的靠近P的三等分点，则A为线段PF₂的中点，
于是PF₁=2b．
结合椭圆的定义有PF₂=2a-2b，
在直角三角形PF₁F₂中，
利用勾股定理得（2a-2b）²+（2b）²=（2c）²，
将c²=a²-b²代入，
整理可得b=$\frac{2}{3}$a，
于是e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．