Question

17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log₂（-x+1）
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＞1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数的解析式求得f（0）的值，再根据函数的奇偶性，可得f（-1）=f（1），再根据根据函数的解析式求得f（1）的值．
（2）设x＜0，则-x＞0，可得 f（-x）=log₂（-x+1），再根据f（x）是定义在R上的偶函数，求得f（x）的解析式．综合可得结论．
（3）先判断单调性，再根据单调性解答．

解答 解：（1）由题意可得f（0）=log₂（0+1）=0，f（-1）=log₂（1+1）=1．
（2）设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=log₂（x+1）．
再根据f（x）是定义在R上的偶函数，可得 f（x）=log₂（x+1）．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（-x+1），x≤0}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞0}\end{array}\right.$
（3）设x₁＜x₂≤0，
则-x₁＞-x₂＞0，
∴1-x₁＞1-x₂＞0，
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}$＞1，
所以f（x₁）-f（x₂）=$lo{g}_{2}^{（-{x}_{1}+1）}-lo{g}_{2}^{（-{x}_{2}+1）}$=$lo{g}_{2}\frac{-{x}_{1}+1}{-{x}_{2}+1}$＞log₂1=0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在x≤0上为减函数，又f（x）为定义在R上的偶函数，
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，
f（a-1）＞1=f（1），
∴|a-1|＞1解得a＞2或a＜0，
故实数a的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，单调性，解析式，属于中档题．