Question

15．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图②．
（1）证明：CD⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BE⊥OA₁，BE⊥OC，从而BE⊥平面A₁OC，由CD∥BE，能证明CD⊥平面A₁OC．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-A₁C-D的余弦值．

解答 证明：（1）在图1中，

∵AB=BC=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{2}$，E是AD的中点，∠BAD=$\frac{π}{2}$，
∴BE⊥AC，
∴在图2中，BE⊥OA₁，BE⊥OC，
∴BE⊥平面A₁OC，
又CD∥BE，
∴CD⊥平面A₁OC．
解：（2）∵平面A₁BE⊥平面BCDE，
∴AO⊥平面BCDE，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），A₁（0，0，1），E（-1，0，0），C（0，1，0），D（-2，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{AC}_{1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ y-z=0\end{array}\right.$，
取x=1，得 $\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
同理可求得平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设平面A₁BC与平面A₁CD夹角为θ，
则cosθ=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．