Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别 是PC，PD，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAB∥平面EFG
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF∥CD，EF∥AB，从而EF∥平面ABP，同理EG∥平面ABP，由此能证明平面PAB∥平面EFG．
（Ⅱ）推导出PD⊥AB，AB⊥PA，则∠PAD是二面角P-AB-C的平面角，由此能法出二面角P-AB-C的大小．

解答 （本题满分10分）
证明：（Ⅰ）∵在△PDC中，E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF?平面ABP，且AB?平面ABP，
∴EF∥平面ABP，…（2分）
同理EG∥平面ABP，…（4分）
又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG．…（5分）
解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AB，
又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，
∴∠PAD是二面角P-AB-C的平面角…（7分）
在RT△ADP中，$tan∠PAD=\frac{PD}{AD}=\frac{PD}{AB}=1$，
∵∠PAD∈[0，π）∴$∠PAD=\frac{π}{4}$…（9分）
∴二面角P-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$…（10分）

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．