Question

11．如图，在圆C：（x+1）²+y²=16内有一点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C、Q的连线交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在一定点N（t，0），使得点M与点N的距离和它到直线l：x=4的距离的比是常数λ？若存在，求出点N及λ．

Answer 1

分析 （1）确定点M的轨迹是以（1，0），（-1，0）为焦点的椭圆，即可求点M的轨迹方程；
（2）由题意，$\frac{|MN|}{d}$=$\frac{\sqrt{（x-t）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-2tx+（{t}^{2}+3）}{{x}^{2}-8x+16}}$，由此可得比值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知，点M在线段CQ上，从而有|CQ|=|MQ|+|MC|．
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|=|MQ|，
∴|MA|+|MC|=|CQ|=4．∵A（1，0），C（-1，0），
∴点M的轨迹是以（1，0），（-1，0）为焦点的椭圆，
所以2a=4，a=2，b=$\sqrt{3}$
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（6分）
（2）由题意，$\frac{|MN|}{d}$=$\frac{\sqrt{（x-t）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-2tx+（{t}^{2}+3）}{{x}^{2}-8x+16}}$，
∴$\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{2t}{8}=\frac{{t}^{2}+3}{16}$，∴$t=1，λ=\frac{1}{2}$，即N（1，0），$λ=\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．