Question

1．下列结论中正确的是②③④．（写出所有正确结论的序号）
①若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$；
②若$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$，则$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$；
③若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
④在△ABC中，点M满足$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$，若存在实数λ使得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=λ•\overrightarrow{AM}$成立，则λ=3．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$得出$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，判断①错误；
由$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$得出|cosθ|=1，判断②正确；
由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$得出$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，判断③正确；
由$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$得出M为△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），判断④正确．

解答 解：对于①，当$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$时，$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴①错误；
对于②，当$|\overrightarrow a•\overrightarrow b|=|\overrightarrow a|•|\overrightarrow b|$时，|cosθ|=1，∴$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，②正确；
对于③，当$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$时，$\overrightarrow a=0$或$\overrightarrow b=0$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$，③正确；
对于④，△ABC中，点M满足$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow 0$，
根据三角形重心的性质得，M为△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AM}$，λ=3，④正确．
综上，正确的命题是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了三角形重心的应用问题，是基础题目．