Question

11．从装有编号为1，2，3，…，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有${C}_{n+1}^{m}$种取法．在这${C}_{n+1}^{m}$种取法中，不取1号球有C${\;}_{1}^{0}$${C}_{n}^{m}$种取法：必取1号球有${C}_{1}^{1}$${C}_{n}^{n-1}$种取法．所以${C}_{1}^{0}$${C}_{n}^{m}$+${C}_{1}^{1}$${C}_{m}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{n}$，即${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$成立，试根据上述思想，则有当1≤k≤m≤n，k，m，n∈N时，${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{1}$${C}_{n}^{m-1}$+${C}_{n}^{2}$${C}_{n}^{m-2}$+…+${C}_{k}^{k}$${C}_{n}^{m-k}$=${C}_{n+k}^{m}$．

Answer 1

分析 类比已知可得式子：C_n^m+C_n¹•C_n^m-1+C_n²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故根据排列组合公式，可得答案．

解答 解：在C_n^m+C_n¹•C_n^m-1+C_n²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
C_n^m表示：从装有n个白球，取出m个球的所有情况，
C_n¹•C_n^m-1表示：从装有n个白球，1个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况，
C_n²•C_n^m-2表示：从装有n个白球，2个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况，
…
C_k^k•C_n^m-k表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况，
故${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{1}$${C}_{n}^{m-1}$+${C}_{n}^{2}$${C}_{n}^{m-2}$+…+${C}_{k}^{k}$${C}_{n}^{m-k}$表示：从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，即${C}_{n+k}^{m}$．
故答案为：${C}_{n+k}^{m}$

点评 这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案