Question

19．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：PB∥平面EAC；
（3）求直线EC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）通过证明PA⊥CD．AD⊥CD，证明CD⊥平面PAD，即可证明平面PDC⊥平面PAD；
（2）证明PB∥EO，即可证明PB∥平面EAC；
（3）设AD的中点为G，连结EG，CG，说明∠ECG为EC与平面ABCD所成的角，在直角三角形ECG中，求解即可．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD．…（2分）
又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD．
又∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．…（4分）
（2）连结BD交AC于O，连结OE，
因为E、O分别是PD、BD的中点，
所以PB∥EO，EO?平面EAC，
所以PB∥平面EAC…（7分）
（3）设AD的中点为G，连结EG，CG，
因为E、G分别是PD、AD的中点，
所以PA∥EG，∵PA⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
∴∠ECG为EC与平面ABCD所成的角．…（9分）
在直角三角形ECG中，EG=$\frac{1}{2}$PA=1，CG=$\sqrt{D{G}^{2}+D{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
所以tan∠ECG=$\frac{EG}{CG}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即所求的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行的判定定理以及直线与平面市场价的求法，考查计算能力以及空间想象能力．