Question

7．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱BC、DD₁的中点．
（1）若平面AFB₁与平面BCC₁B₁的交线为l，l与底面AC的交点为点G，试求AG的长；
（2）求二面角A-FB₁-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过B₁作FA的平行线交面ABCD于G，连接AG，在Rt△ABG中求得AG的长；
（2）分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面B₁EF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-4，3，2），平面AFB₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-2），二面角A-FB₁-E的平面角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{4+6-4}{\sqrt{29}×\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

解答 解：（1）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别为棱BC、DD₁的中点，
延长CB到G，使BG=2BC，连接B₁G，
则B₁G所在直线为平面AFB₁与平面BCC₁B₁的交线，
连接AG，在Rt△ABG中，AB=1，BG=2，
则AG²=AB²+BG²=5，
∴AG=$\sqrt{5}$；…5分

（2）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

由图可知，则A（1，0，0），B₁（1，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），F（0，0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），
设平面B₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}E}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}F}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-z=0}\\{-x-y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，则x=-4，y=3，
∴平面B₁EF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-4，3，2），
同理可得，平面AFB₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（-1，2，-2），
记二面角A-FB₁-E的平面角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{4+6-4}{\sqrt{29}×\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$，
∴二面角A-FB₁-E的余弦值是$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

点评 本题考查空间中的点、线、面间的距离，考查空间向量的数量积，空间向量的坐标表示，空间向量的运算，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用向量法求二面角的平面角的余弦值方法的应用，属于中档题．