Question

18．已知x＞0，y＞0，若2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． -2＜m＜4
• B． -4＜m＜2
• C． 2＜m＜4
• D． -4＜m＜4

Answer 1

分析 将不等式2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立转化为m²-2m＜（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，利用基本不等式可求得（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，再解不等式m²-2m＜8即可得到答案．

解答 解：2y²+8x²-（m²-2m）xy＞0恒成立?m²-2m＜$\frac{{2y}^{2}+{8x}^{2}}{xy}$=$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$恒成立?m²-2m＜（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min，
x＞0，y＞0，$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$≥2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{8x}{y}}$=8（当且仅当y=2x时取等号），
即（$\frac{2y}{x}$+$\frac{8x}{y}$）_min=8，
所以，m²-2m＜8，
解得：-2＜m＜4，
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，分离参数是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．