Question

6．过椭圆3x²+4y²=48的左焦点F引直线交椭圆于A、B两点，若|AB|=7，则此直线的方程为$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．

Answer 1

分析 把椭圆方程化为标准方程，求出左焦点F的坐标，然后利用待定系数法设出AB的方程，与椭圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，最后利用韦达定理、弦长公式求出直线的斜率，注意单独验证斜率不存在的情况．

解答 解：由椭圆3x²+4y²=48，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，则a²=16，b²=12，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{16-12}=2$，∴F（-2，0），
对于直线AB，
当AB⊥x轴时，将x=-2代入椭圆方程得y=±3，
∴|AB|=6，∴AB不垂直于x轴，
设直线AB方程为y=k（x+2），代入椭圆方程整理得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{64{k}^{2}-192}{3+4{k}^{2}}]}$=$\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}=7$，
化简后得k²=$\frac{3}{4}$，∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB的方程为：$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．
故答案为：$\sqrt{3}$x+2y+2$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-2y+2$\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，一般是将直线方程代入椭圆方程消去y（或x）的一元二次方程，然后进一步求解；本题是借助韦达定理、弦长公式构造出关于k的方程求解，计算量较大，是中档题．