Question

7．如图，ABC-A₁B₁C₁是底面边长为2，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）证明：PQ∥A₁B₁；
（Ⅱ）当CF⊥平面ABQP时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体CABF的体积．

Answer 1

分析 （I）利用面面平行的性质定理即可证明．
（II）F点是PQ中点，理由如下：当$λ=\frac{1}{2}时$，P、Q分别是A₁C₁，A₁B₁的中点，连接CQ和CP，由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，可得CQ=CP，CF⊥QP，取AB中点H，连接FH，CH，在等腰梯形ABQP中，FH²=AP²-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$，可得CF²+FH²=CH²，可得CF⊥FH．可得CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，即可得出．

解答 （I）证明：∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，
又∵AB∥A₁B₁，∴PQ∥A₁B₁．
（Ⅱ）解：F点是PQ中点，理由如下：
当$λ=\frac{1}{2}时$，P、Q分别是A₁C₁，A₁B₁的中点，连接CQ和CP，
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴CQ=CP，∴CF⊥QP，
取AB中点H，连接FH，CH，在等腰梯形ABQP中，
FH²=AP²-$\frac{1}{4}A{B}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
CF=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，CH=$\sqrt{3}$，
∴CF²+FH²=CH²，∴CF⊥FH，
∵QP∩FH=H，∴CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，
∴F点是C在平面ABQP内的正投影．
∴${V_{C-ABF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•2•\frac{{\sqrt{6}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正三棱柱的性质、线面平行垂直的判定与性质定理、等腰梯形等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．