Question

2．△ABC的三个顶点坐标是A（0，1），B（2，1），C（3，4）；
（1）△ABC的外接圆方程；
（2）若线段MN的端点N的坐标为（6，2），端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出△ABC的外接圆方程；
（2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程．

解答 解：（1）设△ABC的外接圆方程为 （x-a）²+（y-b）²=r²，
把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得，
$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{（{b-1}）^2}={r^2}\\{（{a-2}）^2}+{（{b-1}）^2}={r^2}\\{（{a-3}）^2}+{（{b-4}）^2}={r^2}\end{array}\right.$解此方程组，得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\\{r^2}=5\end{array}\right.$，
∴△ABC的外接圆方程是（x-1）²+（y-3）²=5．
（2）设点P（x，y），点M（x₀，y₀），
∵点P是MN的中点，∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_0}+6}}{2}\\ y=\frac{{{y_0}+2}}{2}\end{array}\right.$，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x-6\\{y_0}=2y-2\end{array}\right.$，
∵点M在（x-1）²+（y-3）²=5的圆上运动，∴${（{{x_0}-1}）^2}+{（{{y_0}-3}）^2}=5$，
即∴（2x-6-1）²+（2y-2-3）²=5，整理得${（{x-\frac{7}{2}}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{5}{4}$，
所以，点P的轨迹是以$（{\frac{7}{2}，\frac{5}{2}}）$为圆心，半径长是$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的圆．

点评 本题考查轨迹方程，考查待定系数法、代入法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．