Question

12．.已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为R上的奇函数，由f（0）=0即可求得a的值；
（2）分离出常数-1，即可判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性（直接写出答案，不用证明）；
（3）利用奇函数f（x）在R上单调递减的性质，可将f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立转化为3t²-2t-k＞0恒成立，利用△=4+12k＜0，即可求k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）为R上的奇函数
所以f（0）=0即$\frac{a-1}{2}$=0，
∴a=1  …（3分）
（2）f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，在（-∞，+∞）上单调递减…（6分）
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0?f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
又f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上单调递减，
∴t²-2t＞-2t²+k，
即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜-$\frac{1}{3}$．…（12分）（利用分离参数也可）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性、奇偶性的综合运用，考查等价转化思想，属于中档题．