Question

2．已知函数f（x）=a^x-2$\sqrt{4-{a}^{x}}$-1（a＞1）．
（1）若a=2，求函数f（x）的定义域、值域；
（2）若函数f（x）满足：对于任意x∈（-∞，1]，都有f（x）+1≤0．试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次根式的性质及指数不等式的解法，求定义域，用换元法及复合函数的值域求法求值域；
（2）由f（x）+1≤0⇒a^x≤$2\sqrt{4-{a}^{x}}$⇒0＜a^x≤$2\sqrt{5}-2$，（a^x）_max≤2$\sqrt{5}$-2即可

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2^x-2$\sqrt{4-{2}^{x}}-1$，
有4-2^x≥0，的2^x≤4，所以x≤2，
所以函数f（x）的定义域为：（-∞，2]．
令t=$\sqrt{4-{2}^{x}}$⇒0≤t＜2，且2^x=4-t²，
所以f（x）=g（t）=-t²-2t+3=-（t+1）²+4    （0≤t＜2）
g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3
所以函数f（x）的值域为：（-5，3]．
（2）由f（x）+1≤0得a^x≤$2\sqrt{4-{a}^{x}}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}^{x}）^{2}≤4（4-{a}^{x}）}\\{4-{a}^{x}≥0}\end{array}\right.$，解得0＜a^x≤$2\sqrt{5}-2$，
因为a＞1，且x≤1，∴（a^x）_max=a
∴1＜a≤2$\sqrt{5}$-2．

点评 本体考查了符合函数的定义域、值域，及恒成立问题，转化思想，是关键，属于中档题．