Question

17．已知：数列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列；
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3恒成立．

Answer 1

分析 （1）由当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列；可得2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+1．又a₁=0，b₁=1，a_n，b_n≥0，且2b_n=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，即$2\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$（n≥2）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）把b_n，a_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3，整理可得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，利用一次函数的单调性可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列；
∴2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+1．又∵a₁=0，b₁=1，∴a_n，b_n≥0，且2b_n=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
∴$2\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$（n≥2），∴数列{b_n}是等差数列，又b₂=4，∴$\sqrt{{b}_{n}}$=n，n=1时也适合．
∴b_n=n²，a_n=n（n-1）．
（2）把b_n，a_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3，整理可得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，
令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，利用一次函数的单调性可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-4n+3≥0}\\{{n}^{2}-2n+2≥0}\end{array}\right.$，
解得n≤1，或n≥3．
∴存在自然数k=3，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3恒成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、一次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．