Question

13．以0（±$\sqrt{2}$，0）为焦点、坐标轴为对称轴的椭圆M与圆N外切，圆N的方程为（x-3）²+y²=1．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若过原点的直线交圆N于A，B两点，且AB的中点为C，求点C的轨迹方程；
（3）若过圆心N且斜率为1的直线交圆N于Q，R两点，试探究在椭圆M上是否存在点P，使得以PQ为直径的圆过点N？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=$\sqrt{2}$，由椭圆与圆N的方程为（x-3）²+y²=1．圆心为（3，0），半径为1，a=2，b²=a²-c²=2，即可求得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由在圆N中弦AB的中点为C，BC⊥OC，因此C的轨迹为一圆心为（$\frac{3}{2}$，0），半径为$\frac{3}{2}$的圆，联立方程，即可求得交点坐标，求得x的取值范围，求得点C的轨迹为（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，（$\frac{8}{3}$＜x＜3）；
（3）假设存在P，使得以PQ为直径的圆过点N，则PN⊥QN，设直线y=-x+3，联立方程，由△＜0，方程无解，故椭圆M上是不存在点P，使得以PQ为直径的圆过点N．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
c=$\sqrt{2}$，
由椭圆与圆N的方程为（x-3）²+y²=1．圆心为（3，0），半径为1，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由在圆N中弦AB的中点为C，
∴BC⊥OC，
点C的轨迹是以ON为直径的圆，圆心为（$\frac{3}{2}$，0），半径为$\frac{3}{2}$，
∴点C的轨迹为方程（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{9}{4}}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{8}{3}$，
由$\frac{8}{3}$＜x＜3，
∴点C的轨迹为（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，（$\frac{8}{3}$＜x＜3）；
（3）由题意可知：假设存在P，使得以PQ为直径的圆过点N，则PN⊥QN，
∵直线斜率为1，点N（3，0），
∴PN的直线方程为y=-1-（x-3），即y=-x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，消去y得：3x²-12x+14=0，
由△=（-12）²-4×3×14-24＜0，
∴方程无解，
∴P点不存在，
∴椭圆M上是不存在点P，使得以PQ为直径的圆过点N．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查圆的性质，考查点的轨迹方程的应用，考查计算能力，属于中档题．