Question

7．已知点F（0，1）为抛物线x²=2py的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点A、B、C是抛物线上三点且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，求△ABF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据条件容易求出p=2，从而得出抛物线C的方程为x²=4y；
（2）可设$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}），C（{x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}）$，并设直线AB交y轴于D（0，y_D），并可求得${y}_{D}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$．由$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$即可得出${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}，{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12-{{x}_{3}}^{2}$，进而得到${x}_{1}{x}_{2}={{x}_{3}}^{2}-6$，由${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}|1-{y}_{D}||{x}_{2}-{x}_{1}|$即可得到${{S}^{2}}_{△ABF}=\frac{3}{64}（{{x}_{3}}^{2}-2）^{2}（8-{{x}_{3}}^{2}）$，这样设$t={{x}_{3}}^{2}≥0$，$y=\frac{3}{64}（t-2）^{2}（8-t）$，根据导数符号即可求出y的最大值，即得出△ABF面积的最大值．

解答 解：（1）由题意$\frac{p}{2}=1$；
∴p=2；
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）令$A（{x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}），B（{x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}），C（{x}_{3}，\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}）$，
不妨设直线AB与y轴交于点D（0，y_D），则：
$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{D}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{0-{x}_{1}}$；
∴${y}_{D}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$；
又$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$；
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{3}}^{2}}{4}-3）=（0，0）$；
∴x₁+x₂+x₃=0，$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2}}{4}=3$；
从而${x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}，{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12-{{x}_{3}}^{2}$；
∴$2{x}_{1}{x}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）$=$2{{x}_{3}}^{2}-12$；
∴${x}_{1}{x}_{2}={{x}_{3}}^{2}-6$；
又${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}|1-{y}_{D}||{x}_{2}-{x}_{1}|$；
∴${{S}^{2}}_{△ABF}=\frac{1}{4}（1+\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}）^{2}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}）$
=$\frac{1}{64}（4+{{x}_{3}}^{2}-6）^{2}（12-{{x}_{3}}^{2}-2{{x}_{3}}^{2}+12）$
=$\frac{1}{64}（{{x}_{3}}^{2}-2）^{2}（24-3{{x}_{3}}^{2}）$
=$\frac{3}{64}（{{x}_{3}}^{2}-2）^{2}（8-{{x}_{3}}^{2}）$；
令$t={{x}_{3}}^{2}≥0$，$y=\frac{3}{64}（t-2）^{2}（8-t）$，$y′=\frac{9}{64}（t-2）（6-t）$；
t∈[0，2）时，y′＜0，t∈（2，6）时，y′＞0，t∈（6，+∞）时，y′＜0；
且当t=0时y=$\frac{3}{2}$，当t=6时，$y=\frac{3}{2}$；
∴${y}_{max}=\frac{3}{2}$；
∴△ABF面积的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线上点的坐标的设法，根据点的坐标求直线的斜率，向量坐标的加法运算，以及三角形的面积公式，根据导数符号求函数最值的方法．