Question

16．已知点P为圆x²+y²=25上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为H，且满足$\overrightarrow{MH}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$，若M的轨迹为曲线E．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的方程；
（2）设过曲线E左焦点的两条弦为MN、PQ，弦MN，PQ所在直线的斜率分别为k₁、k₂，当k₁k₂=1时，判断$\frac{1}{|MN|}$+$\frac{1}{|PQ|}$是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设P点坐标为（x₀，y₀），M点坐标为（x，y），由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$，把P点代入x²+y²=25即可得出．
（2）由题设知，F₁（-4，0），则MN：y=k₁（x+4），PQ：y=k₂（x+4），将MN与C的方程联立消y得$（25{k}_{1}^{2}+9）$x²+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则$|MN|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+k_1^2）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+{k}_{1}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．同理：|PQ|，k₁k₂=1，代入即可得出．

解答 解：（1）设P点坐标为（x₀，y₀），M点坐标为（x，y），
由$\overrightarrow{MH}=\frac{3}{5}\overrightarrow{PH}$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x={x_0}}\\{y=\frac{3}{5}{y_0}}\end{array}}\right.$，而P点在x²+y²=25上，代入得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$．
（2）由题设知，F₁（-4，0），则MN：y=k₁（x+4），PQ：y=k₂（x+4）
将MN与C的方程联立消y得$（25{k}_{1}^{2}+9）$x²+200${k}_{1}^{2}$x+$400{k}_{1}^{2}$-225=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁、x₂是“*”的二根，
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{200k_1^2}{25k_1^2+9}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{400k_1^2-225}{25k_1^2+9}}\end{array}}\right.$，
则$|MN|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+k_1^2）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+k_1^2）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（1+k_1^2）•\frac{400k_1^4-4（400k_1^2-225）（25k_1^2+9）}{{{{（25k_1^2+9）}^2}}}}$=$\frac{90（1+k_1^2）}{25k_1^2+9}$．
同理：$|PQ|=\frac{90（1+k_2^2）}{25k_2^2+9}$
∵k₁k₂=1∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}=\frac{1}{{\frac{90（1+k_1^2）}{25k_1^2+9}}}+\frac{1}{{\frac{90（1+k_2^2）}{25k_2^2+9}}}$
=$\frac{25k_1^2+9}{90（1+k_1^2）}+\frac{25k_2^2+9}{90（1+k_2^2）}=\frac{（25k_1^2+9）（1+k_2^2）+（25k_2^2+9）（1+k_1^2）}{90（1+k_1^2）（1+k_2^2）}$=$\frac{{18+34k_1^2+34k_2^2+50{{（{k_1}{k_2}）}^2}}}{{90[1+k_1^2+k_2^2+{{（kk）}^2}]}}=\frac{68+34k_1^2+34k_2^2}{90（2+k_1^2+k_2^2）}$=$\frac{34（2+k_1^2+k_2^2）}{90（2+k_1^2+k_2^2）}=\frac{17}{45}$，
∴$\frac{1}{|MN|}+\frac{1}{|PQ|}$为定值，值为$\frac{17}{45}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、圆的方程、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．