Question

6．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为增函数，且满足 f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）、f（4）的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＜2+f（x-3）．

Answer 1

分析 （1）赋值法直接求f（1）\f（4）；
（2）f（x）＜2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12）⇒$\left\{\begin{array}{l}x＜4x-12\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.⇒x＞4$．

解答 （1）解：$\begin{array}{l}f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2）$，∴$f（1）=0----（2分）\\ f（4）=f（2）+f（2）=2----（2分）\end{array}$
     f（2×2）=f（2）+f（2）=4；
（2）f（x）＜2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12）
而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数；
所以$\left\{\begin{array}{l}x＜4x-12\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.⇒x＞4$
不等式解集为 {x|x＞4}．

点评 本题考查了抽象函数的赋值法、单调性及函数不等式，要注意定义域，属于基础题．