Question

15．定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=3时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$的图象上，求b的最小值．（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$））

Answer 1

分析 （1）当a=1，b=3时，f（x）=x²+4x+2，由x²+4x+2=x，解得答案；
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0 ①，则方程①恒有两个不等实根，即b²-4ab+4a＞0恒成立，则△′=16a²-16＜0，解得a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，即b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$，进而得到b的最小值．

解答 解：（1）当a=1，b=3时，f（x）=x²+4x+2，
由x²+4x+2=x，
解得x=-2或x=-1，
所以所求的不动点为-1或-2．
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，则ax²+bx+b-1=0 ①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立，
则△′=16a²-16＜0，
故0＜a＜1
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），g（x）=-x+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
又AB的中点在该直线上，所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=$\frac{2a}{5{a}^{2}-4a+1}$，
∴b=$\frac{-2{a}^{2}}{5{a}^{2}-4a+1}$=$\frac{-2}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$
∴当 a=$\frac{1}{2}$∈（0，1）时，b_min=-2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．