Question

4．已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1．
（1）若a=1，求当x∈[-3，0]时，函数f（x）的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=0有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，化简f（x），转为二次函数求解，x∈[-3，0]时，函数f（x）的取值范围；
（2）关于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有实数根，等价于方程2ax²-x-1=0在（0，+∞）上有实数根．求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=2a•4^x-2^x-1，
当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1=2（2^x）²-2^x-1，
令t=2^x，
∵x∈[-3，0]
∴t∈[$\frac{1}{8}$，1]
故y=$2{t}^{2}-t-1=2（t-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$，
故得函数f（x）值域为$[{-\frac{9}{8}，0}]$．
（2）关于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有实数根，等价于方程2ax²-x-1=0在（0，+∞）上有实数根．
记g（x）=2ax²-x-1，
当a=0时，解为：x=-1＜0，不成立；
当a＞0时，g（x）的图象开口向上，对称轴$x=\frac{1}{4a}$，
∵$\frac{1}{4a}＞0$，
∴g（x）的图象过点（0，-1），方程2ax²-x-1=0必有一个实数根为正数，符合要求．
故a的取值范围我（0，+∞）．

点评 本题考查了指数函数的性质的运用和关于含参数问题的转化计算．属于中档题．