Question

12．已知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+aln（x+1）（其中a为常数）$有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂．
（1）求a取值范围并讨论函数f（x）的单调性；
（2）求f（x₂）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；
（2）x₂是方程g（x）=0的根，将a用x₂表示，消去a得到关于x₂的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求f（x₂）的取值范围．

解答 解：（1）求导函数可得f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x+a}{x+1}$（x＞-1）
令g（x）=x²+x+a，其对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
由题意知x₁、x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为△=4-4a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜$\frac{1}{4}$…（2分）
①当x∈（-1，x₁）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）内为增函数；
②当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）内为减函数；
③当x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）内为增函数；
（2）由（1）g（0）=a＞0，∴-$\frac{1}{2}$＜x₂＜0，a=-（x²₂+x₂）
∴f（x₂）=$\frac{1}{2}$x²₂+aln（1+x₂）=$\frac{1}{2}$x²₂-（x²₂+x₂）ln（1+x₂）
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-$\frac{1}{2}$），…（8分）
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）
①当x∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，h'（x）＞0，∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）单调递增；
②当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减 …（12分）
∴当x∈（-$\frac{1}{2}$，0）时，h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$，
故f（x₂）=$\frac{1}{2}$h（x₂）＞$\frac{1-2ln2}{8}$．    …（14分）

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．