Question

1．过点P（2，1）作直线l分别与x，y轴正半轴交于A、B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，把点P（2，1）代入可得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，所以利用基本不等式即可得出．
（2）|OA|+|OB|=$a+b=（a+b）（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1）=3+\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$，即由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．

解答 解：设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．
（1）设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
代入P（2，1）得$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，
得ab≥8，从而${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}ab≥4$，
此时$\frac{2}{a}=\frac{1}{b}$，$k=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$．
∴方程为x+2y-4=0．
（2）$a+b=（a+b）（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1）=3+\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}≥3+2\sqrt{2}$，
此时$\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}$，$k=-\frac{b}{a}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴方程为$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$．

点评 本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．