Question

12．设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为$\sqrt{3}$的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与 x轴交于点M（11，0），则p=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 由题意可知：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，则垂直平分线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且与x轴交于点M（11，0），则y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-11），则直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．

解答 解：由题意可知：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
直线AB的斜率为$\sqrt{3}$，则垂直平分线的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且与x轴交于点M（11，0），则y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-11），
设直线AB的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为P（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，
由中点坐标公式可知：x₀=$\frac{5p}{6}$，则y₀=$\frac{\sqrt{3}p}{3}$，
由P在垂直平分线上，则y₀=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀-11），即p=-（$\frac{5p}{6}$-11），
解得：p=6，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及垂直平分线的性质，考查计算能力，属于中档题．