Question

20．已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞0．
（1）当a=1时，求不等式f²（x）≤2的解集；
（2）已知函数g（x）=f（2x+a）+2f（x）的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式f²（x）≤2，即（x-1）²≤2，即可求不等式f²（x）≤2的解集；
（2）x≤0，g（x）单调递减，x≥a，g（x）单调递增，可得g（x）_min=2a=4，即可求实数a的值

解答 解：（1）当a=1时，不等式f²（x）≤2，即（x-1）²≤2，
∴1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$，
∴不等式的解集为{x|1-$\sqrt{2}$≤x≤1+$\sqrt{2}$}；
（2）∵a＞0，∴g（x）=|2x|+2|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{4x-2a，x≥a}\\{2a，0＜x＜a}\\{-4x+2a，x≤0}\end{array}\right.$，
∴x≤0，g（x）单调递减，x≥a，g（x）单调递增，
∴g（x）_min=2a=4，∴a=2．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数的最小值，考查学生的计算能力，属于中档题．