Question

17．若函数f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的图象关于直线x=m对称，则f（x）的最小值是-$\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的图象关于直线x=m对称，可得m=$\frac{1}{2}$，进而得到c=3，进而可得f（x）=x⁴+2x³+4x²+3x=（x²+x）（x²+x+3）=[（x²+x）+$\frac{3}{2}$]²-$\frac{9}{4}$，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：一般地，四次函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）
=x⁴+（a+b+c+d）x³+mx²+nx+abcd的图象，关于直线x=$\frac{1}{4}$（a+b+c+d）对称，
故函数f（x）=x⁴+2x³+4x²+cx的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
由函数解析式的常数项为0，可得函数有一零点为0，
则-1也必为函数的一个零点，
故c=3，
∴函数f（x）=x⁴+2x³+4x²+3x=（x²+x）（x²+x+3）=[（x²+x）+$\frac{3}{2}$]²-$\frac{9}{4}$，
由x²+x≥$-\frac{1}{4}$得：当x²+x=$-\frac{1}{4}$，即x=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值-$\frac{11}{16}$，
故答案为：-$\frac{11}{16}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的零点，函数的最值，难度中档．