Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（1，t）（t＞0）到焦点F的距离等于2．
（1）求抛物线的方程及点P、F坐标；
（2）过P点做互相垂直的两条直线交抛物线于另外两点A，B．
   ①当直线AB的斜率为-$\frac{2}{5}$时，求直线AB的方程；
   ②求证：直线AB经过定点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质求出p的值，求出抛物线的解析式，从而求出P，F的坐标即可；
（2）①联立方程组得到y₁+y₂=-10，y₁y₂=-10b，计算$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的表达式，从而求出b的值，求出直线AB的方程即可；
②设出A、B的坐标，根据k_PA•k_BP=-1，得到关于AB的方程，即y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}•\frac{{y}_{2}^{2}}{4}}$（x₁-x₂），整理即可．

解答 解：（1）∵y²=2px（p＞0）上一点P（1，t）（t＞0）到焦点F的距离等于2，
∴|FP|=1+$\frac{p}{2}$=2，解得p=2，
∴y²=4x，
∴P（1，2），F（1，0），
（2）①令l_AB：y=-$\frac{2}{5}x$+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，∴y=-$\frac{3}{5}$•$\frac{{y}^{2}}{4}$+b，
∴20y=-2y²+20b，
∴y²+10y-10b=0，
∴y₁+y₂=-10，y₁y₂=-10b，
又∵PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1，y₁-2）•（x₂-1，y₂-2）
=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）
=$\frac{1}{16}$${y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}$-$\frac{1}{4}$（${y}_{1}^{2}$+${y}_{2}^{2}$）+1+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
∴$\frac{100}{16}$b²-$\frac{1}{4}$（100+20b）+1-10b+24=0，
解得b=$\frac{12}{5}$或b=0，
∴直线l_AB：y=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{12}{5}$（过点P，舍去），或y=-$\frac{2}{5}$x，
∴直线AB的方程；y=-$\frac{2}{5}$x，
②A（$\frac{1}{4}{y}_{1}^{2}$，y₁），B（$\frac{1}{4}$${y}_{2}^{2}$，y₂），
∵k_PA•k_BP=-1，
∴$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}•\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$=-1，
∴$\frac{4}{2+{y}_{1}}•\frac{4}{2+{y}_{2}}$=-1，
∴16=-（y₁y₂+2y₁+2y₂+4），
∴y₁y₂=-20-2（y₁+y₂），
∵l_AB：y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}•\frac{{y}_{2}^{2}}{4}}$（x₁-x₂），
∴y=y₁+$\frac{4x}{{y}_{1}{+y}_{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}+y}_{2}}$=$\frac{4x}{{y}_{1}{+y}_{2}}$-$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{{y}_{1}{+y}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}{+y}_{2}}$[4x-20-2（y₁+y₂）]，
∴x=5时，y=-2，即过定点（5，-2）．

点评 本题考查了抛物线的性质，考查直线和抛物线的关系，直线的垂直以及转化思想，是一道综合题．