Question

13．各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项的和为S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）记T_n为数列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设公差为d，利用S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）错位相减法，可求数列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得d=1或d=0，
由数列{a_n}的各项均不相等，所以d≠0，
所以d=1，
解得a₁=2．
故a_n=n+1．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
由①-②，得
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
则T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．