Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，若PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上中点E，求证：BE∥平面PCD；
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥CD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．
（2）取PD中点F，连结BE、EF、FC，推导出四边形BEFC为平行四边形，从而BE∥CF，由此能证明BE∥平面PCD．
（3）设G为AD的中点，连结CG，过G作GH⊥PD于H，连结CH，由三垂线定理得∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
在底面ABCD中，∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}AD$，
∴AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
（2）取PD中点F，连结BE、EF、FC，
则EF∥AD，且EF=$\frac{1}{2}AD$，
由已知∠ABC=∠BAD=90°，∴BC∥AD，
又BC=$\frac{1}{2}AD$，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF，
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．
解：（3）设G为AD的中点，连结CG，则CG⊥AD，
又∵平面ABCD⊥平面PAD，
∴CG⊥平面PAD，
过G作GH⊥PD于H，连结CH，
由三垂线定理得CH⊥PD，
∴∠GHC是二面角A-PD-C的平面角，
设AD=2，则PA=AB=CG=DG=1，DP=$\sqrt{5}$，
在△PAD中，$\frac{GH}{PA}=\frac{DG}{DP}$，∴GH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴tan$∠GHC=\frac{CG}{GH}$=$\sqrt{5}$，cos$∠GHC=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．