Question

14．如图，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M，N分别是BC、AB的中点，沿直线MN将△BMN折起使点B到达B′，且∠B′MB=$\frac{π}{3}$，则B′A与平面ABC所成角的正切值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，作出B′A在平面ABC上的投影，得到B′A与平面ABC所成角，求解直角三角形得答案．

解答 解：如图：

 由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，
∴折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MB=$\frac{π}{3}$，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，
连接B′A和AH，设AC=BC=a，
在直角三角形ACH中，AH=$\frac{5}{4}$a，
在直角三角形B′MH中，由于B′M=$\frac{1}{2}$a，∠B′MH=60°，∴B′H=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
在直角三角形B′AH中，tan∠B′AH=$\frac{B′H}{AH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{5}{4}a}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与平面所成的角，关键应抓住折叠前与折叠后的变量与不变量，考查了二面角的平面角及直线与平面所成角的概念，是中档题．