Question

5．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，若直线y=c与y=c+5依次交f（x）的图象于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 2
• D． 8

Answer 1

分析 由函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，可得：△=a²-4b=0，由四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5，结合韦达定理，构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答 解：如图示：
，
∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，
∴△=a²-4b=0，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c交于A，B两点，
即A，B两点的横坐标为方程：x²+ax+b-c=0的两根，
故AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4b+4c}$=2$\sqrt{c}$，
设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c+5交于C，D两点，
同时可得：CD=2 $\sqrt{c+5}$，
此时四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，
S=25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）×5=（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$）×5，
即$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+5}$=5，
解得：c=4，
故答案为：4．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理及四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，构造关于c的方程是解答的关键．