Question

4．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．
（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；
（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x²与g（x）=a+2^x的平衡“数对”相同．
（3）若m₁、m₂∈R，且（m₁，$\frac{π}{2}$）（m₂，$\frac{π}{4}$）均为函数，f（x）=cos²x（0$＜x≤\frac{π}{4}$）的“平衡”数对，求m₁²+m₂²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，求出k=2nπ±$\frac{π}{3}$，n∈Z，可得结论；
（2）证明（2，0）分别是函数f（x）=x²与g（x）=a+2^x的“平衡“数对，可得结论；
（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，则mcos²x=cos²（x+k）+cos²（x-k）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]，得出m₁²+m₂²的函数，即可求m₁²+m₂²的取值范围．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
∴sinx=sin（x+k）+sin（x-k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk-cosxsink=2sinxcosk，
∴sinx（1-2cosk）=0，
∵对于定义域内的任意实数x，f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
∴1-2cosk=0，
即cosk=$\frac{1}{2}$，
∴k=2nπ±$\frac{π}{3}$，n∈Z，
∴f（x）=sinx是“可平衡“函数；
（2）∵f（x）=x²的定义域为R．
假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
则mx²=（x+k）²+（x-k）²=2x²+2k²，
即（m-2）x²=2k²，
由于上式对于任意实数x都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2=0}\\{{k}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得m=2，k=0，
∴（2，0）是函数f（x）=x²的“平衡“数对，
∵g（x）=a+2^x，
∴m（a+2^x）=a+2^x+k+a+2^x-k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ma=2a}\\{m={2}^{k}+{2}^{-k}}\end{array}\right.$，
解得m=2，k=0，
∴（2，0）是函数g（x）=a+2^x的“平衡“数对，
∴f（x）=x²与g（x）=a+2^x的平衡“数对”相同
（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，
则mcos²x=cos²（x+k）+cos²（x-k）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]
∴$\frac{1}{2}$m（1+cos2x）=$\frac{1}{2}$[1+cos2（x+k）]+$\frac{1}{2}$[1+cos2（x-k）]
∴m+mcos2x=1+cos2xcos2k-sin2xsin2k+1+cos2xcos2k+sin2xsin2k，
∴m（1+cos2x）=2+2cos2xcos2k，
∵（m₁，$\frac{π}{2}$）（m₂，$\frac{π}{4}$）均为函数，
∴m₁（1+cos2x）=2+2cos2xcosπ=2-2co2x，
m₂（1+cos2x）=2+2cos2xcos$\frac{π}{2}$=2，
∵0$＜x≤\frac{π}{4}$，
∴0＜2x≤$\frac{π}{2}$，
∴0＜cos2x≤1，
∴m₁=$\frac{2-2cos2x}{1+cos2x}$=$\frac{2-2（1-2si{n}^{2}x）}{1+2co{s}^{2}x-1}$=$\frac{2si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=2tan²x，m₂=$\frac{2}{1+cos2x}$=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$
∴m₁²+m₂²=4tan⁴x+$\frac{1}{co{s}^{4}x}$，
设h（x）=4tan⁴x+$\frac{1}{co{s}^{4}x}$，（0$＜x≤\frac{π}{4}$）
∴h（0）≤h（x）≤h（$\frac{π}{4}$），
即1≤h（x）≤8
∴m₁²+m₂²的取范围为[1，8]

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，考查运算能力，属于难题．