Question

15．已知命题p：?x₀∈[0，2]，log₂（x₀+2）＜2m；命题q：关于x的方程3x²-2x+m²=0有两个相异实数根．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若（?p）∧q为真，得到关于m的不等式组，解得实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，分类讨论，可得实数m的取值范围．

解答 解：令f（x）=log₂（x+2），则f（x）在[0，2]上是增函数，
故当x∈[0，2]时，f（x）最小值为f（0）=1，故若p为真，则2m＞1，m＞$\frac{1}{2}$．…（2分）
△=4-12m²＞0即m²＜$\frac{1}{3}$时，方程3x²-2x+m²=0有两相异实数根，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$；…（4分）
（1）若（?p）∧q为真，则实数m满足 $\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
故-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$，
即实数m的取值范围为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$]；…（6分）
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，
若p真q假，则实数m满足 $\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}或m≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$即m≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
若p假q真，则实数m满足 $\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$．
综上所述，实数m的取值范围为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断应用为载体，考查了复合命题，函数的图象和性质，方程根的个数与系数的关系等知识点，难度中档．