Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A，B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为α、β，则$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），可得${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ.$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$，即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
则k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$=-tanα•tanβ．
∴$\frac{cos（α-β）}{cos（α+β）}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、和差公式、三角函数基本关系式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．