Question

2．定义在实数R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；
（Ⅱ）在给出的坐标系中作出y=f（x）的图象，并写出f（x）最大值和f（x）在R上的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x＜0时，-x＞0，代入已知x≥0时，f（x）=-4x²+8x-3，可得f（-x）=-4x²-8x-3，根据偶函数的性质可求得f（x）=-4x²-8x-3；
（Ⅱ）根据解析式可作出y=f（x）的图象，根据二次函数的单调性分别求解两段函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=-4（-x）²+8（-x）-3=-4x²-8x-3，（2分）
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴x＜0时，f（x）=-4x²-8x-3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+8x-3，x≥0}\\{-4{x}^{2}-8x-3，x＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）如图所示

由图可知y=f（x）有最大值f（1）=f（-1）=1
函数y=f（x）的单调递增区间是（-∞，-1]和[0，1]
单调递减区间是[-1，0]和[1，+∞）

点评 本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，函数单调性的判断与证明，函数的单调区间的求解，（Ⅱ）中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域．