Question

17．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），等差数列{b_n}的各项为正实数，其前n项和为T_n，且T₃=9，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，当n≥2时，求数列{c_n}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．由T₃=9=3b₂，解得b₂=5，设等差数列{b_n}的公差为d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，（a₂+b₂）=（a₁+b₁）（a₃+b₃），解得d，利用等差数列的通项公式即可得出b_n．
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{2}^{n}-（2n-1）（n≥2）}\end{array}\right.$．A_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，令S=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，利用“错位相减法”可得S，即可得出A_n．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），
∴当n=1时，a₁=S₁=2²-2=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（n=1）}\\{{2}^{n}-1（n≥2）}\end{array}\right.$．
∵等差数列{b_n}的各项为正实数，其前n项和为T_n，且T₃=9，
∴b₂=3．
设数列{b_n}的公差为d，（d＞0）．
则b₁=3-d，b₃=3+d．
由{a_n}的通项公式知，a₁=2，a₂=3，a₃=7，
于是由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列得：（5-d）（10+d）=6²，
解之得d=2或d=-7（舍去），
∴b_n=2n-1；
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{2}^{n}-（2n-1）（n≥2）}\end{array}\right.$．
当n≥2时，A_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
=2+3×2²+5×2²+7×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ-[3+5+7+…+（2n-1）]
=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
令S=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2S=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
则-S=2+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
所以S=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
故A_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹-n²+7．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“错位相减法”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．