Question

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈1，+∞）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，判断函数单调性并证明；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的最小值；
（3）若对任意x∈1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，直接利用函数的单调性定义证明即可；
（2）直接利用（1）证明的函数单调性可知最小值为f（1）；
（3）在区间[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a＞0}\\{x≥1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞-{x}^{2}+2x}\\{x≥1}\end{array}\right.$；等价于a大于函数φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．

解答 解　（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x+$\frac{1}{2x}$+2，
任取1≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+$（\frac{1}{2{x}_{1}}-\frac{1}{2{x}_{2}}）$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，∴2x₁x₂-1＞0．
又x₁-x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
（2）由f（x）的单调性可知在[1，+∞）上的最小值为f（1）=$\frac{7}{2}$；
（3）在区间[1，+∞）上，f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+a＞0}\\{x≥1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a＞-{x}^{2}+2x}\\{x≥1}\end{array}\right.$；
等价于a大于函数φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．
只需求函数φ（x）=-（x²+2x）在[1，+∞）上的最大值．
φ（x）=-（x+1）²+1在[1，+∞）上递减，
∴当x=1时，φ（x）最大值为φ（1）=-3．
∴a＞-3，故实数a的取值范围是（-3，+∞）

点评 本题主要考查了函数单调性定义证明，函数的最值以及恒成立问题，属中等题．