Question

8．设f（x），g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若?x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x），g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x²+3x+2，g（x）=2x+1在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”是（　　）

• A． [0，2]
• B． [0，1]
• C． [1，2]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 由“亲密函数”的概念知，?x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|=|x²+x+1|≤1成立，可求得f（x），g（x）的“亲密区间”是[-1，0]，从而得到答案．

解答 解：若f（x）=x²+3x+2，g（x）=2x+1在[a，b]上是“亲密函数”，
则|f（x）-g（x）|=|x²+3x+2-（2x+1）|=|x²+x+1|≤1．
因为x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
所以，|x²+x+1|≤1?x²+x+1≤1，即x²+x≤0，
解得：-1≤x≤0．
即?x∈[-1，0]都有|f（x）-g（x）|≤1成立，f（x），g（x）的“亲密区间”是[-1，0]．
故选：D．

点评 本题考查函数恒成立问题，理解新定义“亲密函数”与“亲密区间”是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．