Question

2．在条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则$\frac{5}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由约束条件作差可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得即$\frac{a}{5}+\frac{b}{4}=1$．再由$\frac{5}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{5}{a}+\frac{1}{b}$），展开后利用基本不等式求最值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作差可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（8，10），
由z=ax+by，得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8a+10b=40，
即$\frac{a}{5}+\frac{b}{4}=1$．
∴$\frac{5}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{5}{a}+\frac{1}{b}$）（$\frac{a}{5}+\frac{b}{4}$）=$\frac{5}{4}+（\frac{5b}{4a}+\frac{a}{5b}）≥\frac{5}{4}+2\sqrt{\frac{5b}{4a}•\frac{a}{5b}}=\frac{5}{4}+2×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．
当且仅当$\frac{5b}{4a}=\frac{a}{5b}$时上式等号成立．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．