Question

7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AB，
（1）若E为PA的中点，求异面直线AC与BE所成角的余弦值；
（2）若点F在侧棱PC上，二面角F-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{PF}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BE所成角的余弦值．
（2）求出平面BDC的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出$\frac{PF}{PC}$的值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设PD=AB=2，则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，-2，1），
设异面直线AC与BE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴异面直线AC与BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设F（0，b，c），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，λ∈[0，1]，
则（0，b，c-2）=λ（0，2，-2），解得b=2λ，c=2-2λ，
∴F（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{DF}$=（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=2λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{λ}{1-λ}$），
∵二面角F-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{λ}{1-λ}|}{\sqrt{2+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由λ∈[0，1]，解得$λ=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PF}{PC}$=$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查两线段的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．