Question

1．设函数f（x）=-|x|，g（x）=lg（ax²-4x+1），若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为（-∞，4]．

Answer 1

分析 求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集．

解答 解：f（x）=-|x|≤0，∴f（x）的值域是（-∞，0]．
设g（x）的值域为A，
∵对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴（-∞，0]⊆A．
设y=ax²-4x+1的值域为B，
则（0，1]⊆B．
显然当a=0时，上式成立．
当a＞0时，△=16-4a≥0，解得0＜a≤4．
当a＜0时，y_max=$\frac{4a-16}{4a}$≥1，即1-$\frac{4}{a}$≥1恒成立．
综上可得：实数a的取值范围为：（-∞，4]，
故答案为：（-∞，4]

点评 本题考查了函数的值域，集合的包含关系，二次函数的性质，属于中档题．