Question

6．已知等差数列{a_n}，a_n∈N^*，S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²．若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30，求数列 {b_n}的前15项和的最小值．

Answer 1

分析 根据a_n+1=S_n+1-S_n及前n项和S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，可以得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，可得数列{a_n}的通项公式，进而由b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30得到数列{b_n}的通项公式，然后可求数列{b_n}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项．即可得到结论．

解答 解：∵a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+1+2）²-$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，
∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴数列{a_n}是等差数列．
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{8}$（a₁+2）²，解得a₁=2．
∴a_n=4n-2，
b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-31，（以下用两种方法求解）
法一：由b_n=2n-31可得：首项b₁=-29，公差d=2
∴数列{b_n}的前n项和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴当n=15时，s_n=-225为最小，
法二：由$\left\{\begin{array}{l}{2n-31≤0}\\{2（n+1）-31≥0}\end{array}\right.$得$\frac{29}{2}$≤n≤$\frac{31}{2}$．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S_15最小，
故答案为：15

点评 本题主要考查数列递推公式的应用，根据条件判断数列{a_n}是等差数列是解决本题的关键，在求出等差数列前n项和的最值问题是数列中较为常见的一种类型，主要方法有两种：法一只适用于等差数列的和的最值问题，对于其他数列，因为不能转化为关于n的二次函数，所以无法使用，有一定的局限性；法二是常规方法，使用范围广，其特点是找到递增或递减的数列中正项和负项的转折“点”而得到答案．