Question

12．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，0.5）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由a=2，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得该椭圆的标准方程；
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由中点坐标公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，将P代入椭圆方程，即可求得线段PA中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆的左焦点为F（-$\sqrt{3}$，0），右顶点为D（2，0），即a=2，c=$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；------------------（5分）
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），------------------------（6分）
由中点坐标公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+1}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{2}}{2}}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-1}\\{{y}_{0}=2y-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，------------（8分）
由点P在椭圆上，
∴$\frac{（2x-1）^{2}}{4}+（2y-\frac{1}{2}）^{2}=1$，---------（10分）
∴线段PA中点M的轨迹方程是：（x-$\frac{1}{2}$）²+4（y-$\frac{1}{4}$）²=1．------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．