Question

20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．
（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B-AC-M的余弦值为$\frac{2}{3}$，求$\frac{PM}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM，推导出OM∥PD，由此能证明PD∥平面MAC．
（Ⅱ）推导出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\frac{PM}{PB}$的值．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM．
因为 AB∥CD，AB=2CD，所以$\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=2$．
因为 BM=2MP，所以$\frac{BM}{PM}=2$．所以 $\frac{BM}{PM}=\frac{BO}{DO}$．
所以OM∥PD．…（2分）
因为 OM?平面MAC，PD?平面MAC，
所以 PD∥平面MAC．…（4分）
（Ⅱ）因为 平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD． …（6分）
因为PA?平面PAD，所以AB⊥PA．
同理可证：AD⊥PA．
因为 AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，AD∩AB=A，
所以PA⊥平面ABCD．…（9分）
解：（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB=AD=AP=2CD=2，
得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），
则$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{PB}=（0，2，-2）$．
由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．
所以 平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow n=（0，0，1）$．…（10分）
设$\frac{PM}{PB}=λ$（0≤λ≤1），即$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PB}$．所以 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+λ\overrightarrow{PB}=（0，2λ，2-2λ）$．
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ 2λ•y+（2-2λ）•z=0.\end{array}\right.$
令x=λ-1，则y=2-2λ，z=-2λ．所以 $\overrightarrow m=（λ-1，2-2λ，-2λ）$．
因为 二面角B-AC-M的余弦值为$\frac{2}{3}$，
所以 $\frac{|2λ|}{{\sqrt{9{λ^2}-10λ+5}}}=\frac{2}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
所以 $\frac{PM}{PB}$的值为$\frac{1}{2}$．…（14分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．