Question

10．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ=2，曲线C的极坐标方程为：ρcos²θ=asinθ（a＞0），曲线C与直线l的交点为M，N．
（Ⅰ）当a=1时，求直线l和曲线C相交的弦长|MN|；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化极坐标方程为普通方程，当a=1时，直接求直线l和曲线C的解得坐标，然后求解弦长|MN|；
（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，利用向量的数量积，求解弦长MN，清楚圆心到直线的距离即可求解三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ=2，直线的普通方程为：x+y=2，
曲线C的极坐标方程为：ρcos²θ=asinθ（a＞0），它的普通方程为：ay=x²．当a=1时，
：x²+x-2=0，解得x=1或x=-2，曲线C与直线l的交点为M（-2，4），N
（1，1）．
∴|MN|=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$…（5分）
（Ⅱ）把ay=x²代入可得直线l的普通方程x+y=2消去y得
：x²+ax-2a=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁+x₂=-a，x₁x₂=-2a，则
y₁y₂=（-x₁+2）（-x₂+2）=4∴
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=-2a+4=0，解得a=2，
此时${x_1}+{x_2}=-2，{x_1}{x_2}=-4，|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=2\sqrt{5}$．
|MN|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{10}$．原点到直线的距离为：h=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△0MN=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考试极坐标与普通方程互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．