Question

20．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：

x	-3	-2	0	1	3	4	8
f'（x）	-24	-10	6	8	0	-10	-90

根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为6；当x=3时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由极值的定义，通过表格可求解；
（Ⅱ）在表格中取两组数据代入解析式即可；
（Ⅲ）利用导数求出f（x）的单调减区间D，依据（m，m+2）⊆D即可．

解答 解：（Ⅰ）6，3．------------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：f'（x）=3ax²+2bx+c，--------------------------------------------------------------（5分）
由已知表格可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=8}\\{f'（3）=0}\end{array}}\right.$ 解得 $\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}}\right.$---------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f'（x）=-2x²+4x+6=-2（x-3）（x+1），-----------------------（8分）
由f'（x）＜0可得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），------------------------------------------------（9分）
因为f（x）在（m，m+2）上单调递减，
所以仅需m+2≤-1或者m≥3，------------------------------------------------------（11分）
所以m的取值范为m≥3或m≤-3．-----------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间，属于基础题．