Question

5．周期函数f（x）的定义域为R，周期为2，且当-1＜x≤1时，f（x）=1-x²．若直线y=-x+a与曲线y=f（x）恰有3个交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 2k+$\frac{3}{4}$＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• B． 2k+1＜a＜2k+3，k∈Z
• C． 2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z
• D． 2k-$\frac{3}{4}$＜a＜2k+1，k∈Z

Answer 1

分析 由题意画出函数f（x）的图象，并在图中画出关键直线，再由条件转化为求出相切时的切点坐标，利用导数的几何意义，然后再把坐标代入切线方程求出a的值，

解答 解：由题意画出函数f（x）的图象，如下图：

其中图中的直线l的方程为：y=-x+1，此时恰有两个交点，
由图得，当-1＜x≤1时，直线l向上平移过程中与曲线y=f（x）恰有3个交点，
直到相切时，
设切点为p（x，y），则f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=$\frac{1}{2}$，即y=f（$\frac{1}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴p（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），代入切线y=-x+a，解得a=$\frac{5}{4}$，
∵f（x）的定义域为R，周期为2，
∴所求的a的集合是：2k+1＜a＜2k+$\frac{5}{4}$，k∈Z，
故选C．

点评 本题考查了函数的性质以及图象的应用，导数的几何意义，考查了数形结合思想，关键正确作图．