Question

13．函数f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]的值域为（0，3ln2]．

Answer 1

分析 利用导函数研究函数f（x）的单调性，利用单调性求其值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{xln（x-1）}{x-2}$，x∈[1.5，3]，且x≠2．
则f′（x）=$\frac{[xln（x-1）]′（x-2）-（x-2）′[xln（x-1）]}{（x-2）^{2}}$，
令f′（x）=0，
解得：x=2．
∵x∈[1.5，3]，且x≠2．
当1.5≤x＜2，f′（x）＜0，故而f（x）是单调递减，且f（x）＞0．
当2＜x≤3，f′（x）＞0，故而f（x）是单调递增，且f（x）＞0．
∴f（x）＞0．
当x=3时，取得最大值为3ln2．
得函数f（x）的值域为（0，3ln2]．
故答案为：（0，3ln2]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．